最大公約数・最小公倍数の計算（無料）

最大公約数と最小公倍数の意味

約数はその数を割り切る正の整数、公約数は2つ以上の整数すべての約数、最大公約数は公約数のうち最大のものです。 倍数はその数に正の整数を掛けた数、公倍数はすべての数の倍数、最小公倍数は公倍数のうち正で最小のものです。 例えば 12 と 18 の最大公約数は 6、最小公倍数は 36 です。

最大公約数の求め方（ユークリッドの互除法）

大きい数を小さい数で割り、その余りで小さい数を割る、という計算を余りが 0 になるまで続けます。最後に割った数が最大公約数です。 48 と 18 では 48 ＝ 18 × 2 ＋ 12、18 ＝ 12 × 1 ＋ 6、12 ＝ 6 × 2 ＋ 0 となり、最大公約数は 6 です。 3個以上のときは、左から順に「前の結果と次の数の最大公約数」を求めます。このページは全部のペアの途中式を表示します。

素因数の指数から求める方法

それぞれの数を素因数分解し、素因数ごとに指数を並べると、最大公約数は指数の小さい方、最小公倍数は指数の大きい方を掛けた数になります。 48 と 18 では、素因数 2 の指数が 4 と 1、素因数 3 の指数が 1 と 2 です。 最大公約数は 2^1 × 3^1 ＝ 6、最小公倍数は 2^4 × 3^2 ＝ 144 になります。 結果の下の表で、入力した数の素因数と指数を確認できます。

最小公倍数の求め方

2つの数 a、b の最小公倍数は「a ÷ 最大公約数 × b」で求めます。12 と 18 なら 12 × 18 ＝ 216 ＝ 6 × 36、つまり 2つの数の積は最大公約数と最小公倍数の積に等しくなります。 この関係が成り立つのは2個のときだけです。12、18、24 の3個では、積が 5,184、最大公約数と最小公倍数の積が 432 で一致しません（最大公約数 6、最小公倍数 72）。 3個以上のときは左から順に「前の結果と次の数の最小公倍数」を求めます。最小公倍数は桁が大きくなるため、このページは整数のまま正確に計算します。

互いに素とは

最大公約数が 1 の数どうしを互いに素といいます。3個以上では、全体の最大公約数が 1 であることと、どの2つも互いに素であることは別です。 6、10、15 は全体の最大公約数が 1 ですが、6 と 10 の最大公約数は 2、6 と 15 の最大公約数は 3、10 と 15 の最大公約数は 5 なので、どの2つも互いに素ではありません。結果欄には2つの判定を別の行で表示します。

入力できる数と表示の範囲

入力できるのは2〜10個の整数（各数は 1 以上 999,999,999,999,999,999 以下）です。0・負の数・小数・分数はエラーになります。 公約数の一覧は、個数が 1,000 を超えるときは個数をすべて表示したうえで最初の 1,000 個だけを並べます。公倍数は最小公倍数の1倍から10倍までの最初の10個を表示します。

できないこと（このページの対象外）

分数の約分・通分、すだれ算の表は対象外です。比を最も簡単な整数の比に直す計算は比の計算ツールで行えます。1つの数の素因数分解や素数の判定は、素因数分解のページを使ってください。

よくある質問

12 と 18 の最大公約数と最小公倍数はいくつですか？

結論：最大公約数は 6、最小公倍数は 36 です。12 と 18 のどちらも割り切れる最大の数が 6、12 の倍数にも 18 の倍数にもなる最小の正の数が 36 です。

最大公約数の求め方を教えてください

結論：ユークリッドの互除法で、大きい数を小さい数で割った余りを次の割る数にして、余りが 0 になるまで続けます。最後に割った数が最大公約数です。例えば 48 と 18 なら 48 ＝ 18 × 2 ＋ 12、18 ＝ 12 × 1 ＋ 6、12 ＝ 6 × 2 ＋ 0 となり、最後に割った数の 6 が最大公約数です。素因数分解した指数の小さい方を掛ける方法でも同じ値になります。

最小公倍数の求め方を教えてください

結論：2つの数 a、b の最小公倍数は a ÷ (a と b の最大公約数) × b で求めます。例えば 12 と 18 なら 12 ÷ 6 × 18 ＝ 36 です。3つ以上のときは、左から順に「前の結果と次の数の最小公倍数」を求めていきます。

「互いに素」とは何ですか？

結論：最大公約数が 1 の数どうしのことです。1 以外に共通して割り切れる数がありません。例えば 7 と 13 は最大公約数が 1 なので互いに素です。

3つの数の最大公約数が 1 のとき、どの2つも互いに素ですか？

結論：そうとは限りません。6、10、15 の最大公約数は 1 ですが、6 と 10 の最大公約数は 2、6 と 15 の最大公約数は 3、10 と 15 の最大公約数は 5 で、どの2つも互いに素ではありません。このページは、全体の最大公約数が 1 かどうかと、どの2つも互いに素かどうかを別の行で表示します。

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