三角関数の計算（sin・cos・tan・度とラジアンの変換）

度とラジアンの関係

角の単位は度（°）とラジアン（rad）です。国際単位系（SI）の文書 SI Brochure の Table 8 は、1° = (π/180) rad、1′ = (1/60)° = (π/10 800) rad、1″ = (1/60)′ = (π/648 000) rad と書いています。ラジアンについて SI Brochure は「One radian is the angle subtended at the centre of a circle by an arc that is equal in length to the radius.」と書いています（円の中心で、半径と同じ長さの弧に対する角が 1 ラジアン、という意味です）。直角については、SI Brochure の米国版である NIST SP 330（2019）が「The measure of the right angle is exactly equal to the number π/2.」と書いています（BIPM 版は「An alternative definition is that a right angle is equal to π/2 rad.」と別の言い回しです）。

度にπ/180を掛けるとラジアンになります。π/6 rad が30°（0.5235987756）、π rad が180°（3.141592654）、181π/360 rad が90.5°（1.579522973）です。ラジアンから度へは 180/π を掛け、π/7 は 25.714286° になります。 出典: NIST SP 330-2019（直角の文・SI Brochure 9版の米国版） (2026/10/2確認) 出典: SI Brochure 9th edition（BIPM・度の式とラジアンの文） (2026/10/2確認)

sin・cos・tan を誤差なく出すしくみ

小数の π（3.141592653589793）は本物の π よりわずかに小さいので、そのまま計算すると sin は 0 になりません（約 2.384626434×10⁻¹⁶）。このツールは度や π の分数で入った角をπ の有理数倍の分数のまま持ち、360°で割った余りから象限を整数で決めます。15°の整数倍なら下の表の厳密値を引き、そうでなければ0°〜45°の角に直して、整数だけの計算（BigInt）で求めます。

結果は、180° の sin が 0、90° の cos が 0 です。tan は sin ÷ cos なので、cos が厳密に 0 になる 90°・270° では「定義されない」と表示します。小さい値を 0 に丸める処理は入れていません。180.000001° の sin は −1.745329252×10⁻⁸、89.999999° の tan は 57,295,779.51 です。1,000,000° も 360° で割った余り（280°）から計算し、sin は −0.984807753 になります。

特別角の表（0°〜360°・15°刻み）

値は NIST の Digital Library of Mathematical Functions（DLMF）の Table 4.17.1（π/12 の倍数の三角関数値）から取っています。cot・sec・csc もこの表の値です。180°を超える角は、sin(π+x) = −sin x、cos(π+x) = −cos x、tan の周期は π という関係（DLMF 4.14.8–4.14.10）で作っています。象限ごとの符号は DLMF §4.16 Table 4.16.1・4.16.2 と一致します。 出典: DLMF §4.17 Table 4.17.1 (2026/10/2確認)

小数のラジアンを入れたとき

「3.14159」や「1」のような小数のラジアンは、入力した10進の数そのものの角として、桁数の多い整数計算（BigInt・内部は70桁）で計算します。3.141592653589793 は π より少し小さい数なので、sin は 0 ではなく約 2.384626434×10⁻¹⁶、cos は −1 になります。1.5707963267948966 を入れると cos は 1.923132169×10⁻¹⁷、tan は 5.199850619×10¹⁶ で、「定義されない」とは出しません。π ちょうどの値を知りたいときは、入力欄を「ラジアン」にして「π」「π/2」「2π/3」「0.5π」の形で入れるか、横のボタンを使ってください（pi と書いても読みます）。

逆関数（arcsin・arccos・arctan）の範囲

逆関数の答えは主値で返します。arcsin は −90°〜90°（両端を含む）、arccos は 0°〜180°（両端を含む）、arctan は −90° より大きく 90° より小さい値（両端を含まない）です。端の値は DLMF Table 4.23.1 の arcsin(±1) = ±½π、arccos(−1) = π・arccos 1 = 0、arctan(±1) = ±¼π（arctan(±∞) = ±½π は極限）で確認でき、グラフは §4.15 にあります。 出典: DLMF §4.23 Table 4.23.1 (2026/10/2確認) 出典: DLMF §4.15 (2026/10/2確認)

厳密な度を返すのは、特別角の表から逆引きできる組だけです。

• arcsin 0.5 = 30°（π/6 rad）
• arcsin √2/2 = 45°（π/4 rad）
• arcsin √3/2 = 60°（π/3 rad）
• arccos √3/2 = 30°（π/6 rad）
• arccos 0 = 90°（π/2 rad）
• arccos −0.5 = 120°（2π/3 rad）
• arctan √3/3 = 30°（π/6 rad）
• arctan 1 = 45°（π/4 rad）
• arctan √3 = 60°（π/3 rad）

表に無い組は数値で計算します。arctan 0.5 は 26.56505118° で、30° などには丸めません。入力欄には小数のほか √2/2・√3/2・√3/3・√3（先頭に − も可）を入れられます。

度分秒の変換

1′ は 1° の 1/60、1″ は 1′ の 1/60 です。35.5° は 35°30′0.000″、12°34′56″ は 12.582222° になります。10進の度を度分秒にするときは、秒を小数第3位まで四捨五入し、秒が 60 になれば分に、分が 60 になれば度に繰り上げます。29.9999999° は 29°59′60.000″ ではなく 30°0′0.000″ です。0°0′0.001″ のように 0 でない値が小数第6位で 0 になるときは、0 とは出さず「0.000001 未満」と表示します。

直角三角形の辺と角

辺 a（対辺）・b（隣辺）・c（斜辺）・角 A のうちちょうど2つを入れると、残りを出します。辺が2つのときは (a, b) なら c = √(a² + b²)、角は arctan で、(a, c) と (b, c) は残りの辺を平方根で出します。辺と角のときは、sin A・cos A・tan A を使います（c と A なら a = c × sin A、b = c × cos A）。斜辺 c は a・b より長い値にしてください。

√ の中が整数の平方になるときは、平方根を整数で返します。a = 3・b = 4 の c は 5 です。A が15°の整数倍のときは特別角の表を使うので、c = 10・A = 30° の a は 5、b は 8.660254038、角 B は 60° と出ます。

このツールでできないこと

atan2・複素数・双曲線関数・加法定理の証明・テイラー展開、単位円や波のグラフの描画は対象外です。角の単位はグラジアンに対応していません。

よくある質問

sin 180° や cos 90° はなぜちょうど 0 になるのですか？

結論：角を「π の何倍か」という分数で持ち、象限と15°の整数倍かどうかを整数で決めているため、誤差が出ません。sin 180° は 0、cos 90° は 0 です。3.141592653589793 は π より少し小さい数なので、sin は 0 ではなく約 2.384626434×10⁻¹⁶ になります。π ちょうどの値は π ボタンで入れてください。

tan 90° の値はいくつですか？

結論：定義されません。tan は sin ÷ cos で、90° では cos が 0 になり割れないためです。このツールは度や π の分数で 90°・270° などを入れたとき、数値を出さずに「定義されない」と表示します。89.999999° なら tan は 57,295,779.51 と有限の値になります。

度をラジアンに変換するにはどうしますか？

結論：度に π/180 を掛けます。1° は (π/180) rad です（SI Brochure）。たとえば 30° は π/6 rad（0.5235987756）、180° は π rad（3.141592654）、90.5° は 181π/360 rad（1.579522973）です。このツールは π の分数を約分して表示します。

ラジアンを度に変換するにはどうしますか？

結論：ラジアンに 180/π を掛けます。π の分数で入れたときは厳密な分数から計算し、小数第6位まで出します（π/7 は 25.714286°、2π は 360°）。小数のラジアンは 180/π 倍して有効数字10桁で出します（1 rad は 57.29577951°）。

arcsin・arccos・arctan の答えは何度から何度の範囲ですか？

結論：教科書的な主値で、arcsin は −90°〜90°（両端を含む）、arccos は 0°〜180°（両端を含む）、arctan は −90° より大きく 90° より小さい値（両端を含まない）です。このツールの arcsin 0.5 は 30°、arctan 0.5 は 26.56505118° を返します。

15°の倍数の sin・cos・tan の厳密値はどこで確認できますか？

結論：NIST（米国標準技術研究所）の Digital Library of Mathematical Functions（DLMF）の Table 4.17.1 に π/12 刻みの値があります。このツールはその表の値を使い、たとえば 15° の sin を √2(√3−1)/4（0.2588190451）、30° の sin を 1/2、cos を √3/2（0.8660254038）と出します。本文の表に 0°〜360° の15°刻みを載せています。

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